الاسطوانة الدائرية القائمة
تعريف :
الاسطوانة الدائرية القائمة : هي منشور قائم كل من قاعدتيه المتوازيتين منطقة دائرية .
المساحة الجانبية للاسطوانة الدائرية القائمة
تدريب : أحضر اسطوانة دائرية قائمة مفرغة بدون قاعدتين من ورق الكرتون نصف قطرها نق وقم بقطعها باتجاه طولها , ثم قم بإفرادها ما الشكل الناتج؟ احسب مساحته .
تسمى المساحة الناتجة بالمساحة الجانبية للاسطوانة الدائرية القائمة .
مما سبق نستنتج ما يلي :
المساحة الجانبية للاسطوانة = محيط القاعدة×الارتفاع
المساحة الجانبية للاسطوانة = 2 ∏ ×نق×ع
حيث أن :∏ هي النسبة التقريبية وتساوي 22/7 أو 14¸ 3 , نق طول نصف قطر القاعدة, ع ارتفاع الاسطوانة .
مثال : اسطوانة دائرية قائمة طول قطرها 8 سم وارتفاعها 14 سم . احسب المساحة الجانبية لها .
الحل :
نق=4 سم , ع= 14 سم
المساحة الجانبية للاسطوانة = 2 ∏ نق ع
= 2×22/7×4×14
= 352 سم2
المساحة الكلية للاسطوانة
تدريب : أحضر اسطوانة دائرية قائمة مفرغة وبقاعدتين من ورق الكرتون ثم قم بقصها طولياً مع فصل القاعدتين
تعريف
نستنتج مما سبق أن :
المساحة الكلية للاسطوانة = المساحة الجانبية + ضعف مساحة القاعدة
= 2∏نق×ع + 2∏نق2
= 2∏نق(ع+نق)
مثال : اسطوانة معدنية مفرغة مغلقة من طرفيها , ارتفاعها 35 سم , و نصف قطرها21 سم . أوجد مساحتها الكلية بالمتر المربع مقرباً الناتج لأقرب عدد صحيح . ( ∏ = 22/7)
الحل:
المساحة الكلية للاسطوانة = 2∏نق( ع+نق )
= 2×22/7×21×( 35+21)
= 7392 سم2
= 7329¸. م2
≈ 1 م2
حجم الاسطوانة
من دراستك السابقة تعلم أن حجم الجسم هو كمية الفراغ التي يشغلها الجسم ويقاس بوحدات الأطوال المكعبة ( م3 , سم3 , لتر , ...)
تدريب : احسب حجم الأشكال التالية : مكعب طول ضلعه 10 مم – متوازي مستطيلات أبعاده 8 , 5 , 3) سم.
وبما أن حجم المنشور القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع
وحيث أن الاسطوانة منشور دائري قائم فإن :
حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع
= ∏نق2×ع لماذا ؟
مثال : اسطوانة دائرية قائمة طول قطر قاعدتها 84 سم , وارتفاعها 21 سم .
احسب حجمها بالأمتار المكعبة .
الحل :-
حجم الاسطوانة = ∏نق2×ع
= 22/7×42×42×21
= 116424 سم3 .
=12¸. م3 تقريباً
تمارين
) خزان ماء ارتفاعه 3 ¸6 م , وطول قطر قاعدته 4¸ 2 م يراد طلاؤه من الخارج بدهان , يتكلف المتر المربع منه 5¸ . ريال
احسب تكلفة دهان الخزان ؟ علماً بأن ∏ = 14¸ 3
3 ) اسطوانة دائرية قائمة طول قطر قاعدتها 14 سم , ومساحتها الكلية 748 سم2 . احسب :
أ) ارتفاع الاسطوانة .
ب) حجم الاسطوانة .
4 ) صهريج على شكل اسطوانة دائرية قائمة طول نصف قطر قاعدتها من الداخل 4 ¸ 1 م وارتفاعها 5 م , و مستودع على شكل شبه مكعب أبعاده : 9م , 10م , 4¸15 م
أيّهما أكبر حجماً : المستودع أم الصهريج ؟ ( ∏ = 14¸ 3)
5) أوجد حجم علبة صفيح اسطوانية الشكل وبدون غطاء باللترات , وارتفاعها 30 سم , ونصف قطر قاعدتها 7 سم , ثم احسب المساحة الكلية .
ثانياً :
اختر الإجابة الصحيحة من الإجابات المعطاة فيما يلي :
(1) نصف محيط اسطوانة دائرية قائمة طول نصف قطر قاعدتها يساوي
(أ) 14 سم (ب) 22 سم (جـ) 36 سم (د) 44 سم
(2) مساحة قاعدتي اسطوانة دائرية قائمة طول قطر قاعدتها 10 سم يساوي :
(أ) 100 سم2 (ب) 157 سم2 (جـ) 314 سم2 (د) 628 سم2
(3) اسطوانة دائرية قائمة مفرغة ذات قاعدتين فإن مساحتها الكلية تساوي :
(أ) 2∏نق×ل (ب) 2∏نق×ل + 2∏نق2 (جـ) 2∏نق2×ل (د) 2∏نق×ل+نق2
(4) حجم علبة صفيح اسطوانية الشكل , ارتفاعها 30 سم , وقطر قاعدتها 14 سم يساوي :
(أ) 62 ¸4لتر (ب) 2 ¸ 46لتر (جـ) 462 لتر (د) 4620 لتر
الدرس الثاني : المنشور القائم
المساحة الجانبية والمساحة الكلية للمنشور الثلاثي القائم
تعريف :
المساحة الجانبية للمنشور الثلاثي القائم= محيط القاعدة × الارتفاع
المساحة الكلية للمنشور الثلاثي القائم = المساحة الجانبية + ضعف مساحة القاعدة .
مثال : منشور ثلاثي قاعدته على شكل مثلث أبعاده : 3 سم , 4 سم 5سم وارتفاعه 6 سم . احسب :
المساحة الجانبية للمنشور .
المساحة الكلية للمنشور .
الحل :
المساحة الجانبية للمنشور = محيط القاعدة × الارتفاع
= ( 3+4+5 ) × 6
= 72 سم2 .
مساحة القاعدة = ½ القاعدة × الارتفاع
= ½ ×3×4
= 6 سم2
المساحة الكلية للمنشور = المساحة الجانبية + 2×مساحة القاعدة
= 72 + 2×6
= 84 سم2
( 2-3 ) حجم المنشور الثلاثي القائم
تعلمت أن حجم المنشور المنشور القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع
على هذا يكون :
حجم المنشور الثلاثي القائم = مساحة قاعدته المثلثة × الارتفاع
مثال (1) : احسب حجم منشور ثلاثي قائم قاعدته مثلث قائم الزاوية , أبعاده : 30 سم , 40 سم , 50 سم , وارتفاعه 60 سم .
الحل :-
حجم المنشور = ½×30×40×60
= 3600 سم3
مثال (2) : منشور ثلاثي قائم مساحة قاعدته 4800 سم2 , وحجمه 9600 سم3 . أوجد ارتفاعه .
الحل : حجم المنشور الثلاثي القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع
9600 = 4800×ع
ع = 9600/4800 = 2 سم
تعريف :
الاسطوانة الدائرية القائمة : هي منشور قائم كل من قاعدتيه المتوازيتين منطقة دائرية .
المساحة الجانبية للاسطوانة الدائرية القائمة
تدريب : أحضر اسطوانة دائرية قائمة مفرغة بدون قاعدتين من ورق الكرتون نصف قطرها نق وقم بقطعها باتجاه طولها , ثم قم بإفرادها ما الشكل الناتج؟ احسب مساحته .
تسمى المساحة الناتجة بالمساحة الجانبية للاسطوانة الدائرية القائمة .
مما سبق نستنتج ما يلي :
المساحة الجانبية للاسطوانة = محيط القاعدة×الارتفاع
المساحة الجانبية للاسطوانة = 2 ∏ ×نق×ع
حيث أن :∏ هي النسبة التقريبية وتساوي 22/7 أو 14¸ 3 , نق طول نصف قطر القاعدة, ع ارتفاع الاسطوانة .
مثال : اسطوانة دائرية قائمة طول قطرها 8 سم وارتفاعها 14 سم . احسب المساحة الجانبية لها .
الحل :
نق=4 سم , ع= 14 سم
المساحة الجانبية للاسطوانة = 2 ∏ نق ع
= 2×22/7×4×14
= 352 سم2
المساحة الكلية للاسطوانة
تدريب : أحضر اسطوانة دائرية قائمة مفرغة وبقاعدتين من ورق الكرتون ثم قم بقصها طولياً مع فصل القاعدتين
تعريف
نستنتج مما سبق أن :
المساحة الكلية للاسطوانة = المساحة الجانبية + ضعف مساحة القاعدة
= 2∏نق×ع + 2∏نق2
= 2∏نق(ع+نق)
مثال : اسطوانة معدنية مفرغة مغلقة من طرفيها , ارتفاعها 35 سم , و نصف قطرها21 سم . أوجد مساحتها الكلية بالمتر المربع مقرباً الناتج لأقرب عدد صحيح . ( ∏ = 22/7)
الحل:
المساحة الكلية للاسطوانة = 2∏نق( ع+نق )
= 2×22/7×21×( 35+21)
= 7392 سم2
= 7329¸. م2
≈ 1 م2
حجم الاسطوانة
من دراستك السابقة تعلم أن حجم الجسم هو كمية الفراغ التي يشغلها الجسم ويقاس بوحدات الأطوال المكعبة ( م3 , سم3 , لتر , ...)
تدريب : احسب حجم الأشكال التالية : مكعب طول ضلعه 10 مم – متوازي مستطيلات أبعاده 8 , 5 , 3) سم.
وبما أن حجم المنشور القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع
وحيث أن الاسطوانة منشور دائري قائم فإن :
حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع
= ∏نق2×ع لماذا ؟
مثال : اسطوانة دائرية قائمة طول قطر قاعدتها 84 سم , وارتفاعها 21 سم .
احسب حجمها بالأمتار المكعبة .
الحل :-
حجم الاسطوانة = ∏نق2×ع
= 22/7×42×42×21
= 116424 سم3 .
=12¸. م3 تقريباً
تمارين
) خزان ماء ارتفاعه 3 ¸6 م , وطول قطر قاعدته 4¸ 2 م يراد طلاؤه من الخارج بدهان , يتكلف المتر المربع منه 5¸ . ريال
احسب تكلفة دهان الخزان ؟ علماً بأن ∏ = 14¸ 3
3 ) اسطوانة دائرية قائمة طول قطر قاعدتها 14 سم , ومساحتها الكلية 748 سم2 . احسب :
أ) ارتفاع الاسطوانة .
ب) حجم الاسطوانة .
4 ) صهريج على شكل اسطوانة دائرية قائمة طول نصف قطر قاعدتها من الداخل 4 ¸ 1 م وارتفاعها 5 م , و مستودع على شكل شبه مكعب أبعاده : 9م , 10م , 4¸15 م
أيّهما أكبر حجماً : المستودع أم الصهريج ؟ ( ∏ = 14¸ 3)
5) أوجد حجم علبة صفيح اسطوانية الشكل وبدون غطاء باللترات , وارتفاعها 30 سم , ونصف قطر قاعدتها 7 سم , ثم احسب المساحة الكلية .
ثانياً :
اختر الإجابة الصحيحة من الإجابات المعطاة فيما يلي :
(1) نصف محيط اسطوانة دائرية قائمة طول نصف قطر قاعدتها يساوي
(أ) 14 سم (ب) 22 سم (جـ) 36 سم (د) 44 سم
(2) مساحة قاعدتي اسطوانة دائرية قائمة طول قطر قاعدتها 10 سم يساوي :
(أ) 100 سم2 (ب) 157 سم2 (جـ) 314 سم2 (د) 628 سم2
(3) اسطوانة دائرية قائمة مفرغة ذات قاعدتين فإن مساحتها الكلية تساوي :
(أ) 2∏نق×ل (ب) 2∏نق×ل + 2∏نق2 (جـ) 2∏نق2×ل (د) 2∏نق×ل+نق2
(4) حجم علبة صفيح اسطوانية الشكل , ارتفاعها 30 سم , وقطر قاعدتها 14 سم يساوي :
(أ) 62 ¸4لتر (ب) 2 ¸ 46لتر (جـ) 462 لتر (د) 4620 لتر
الدرس الثاني : المنشور القائم
المساحة الجانبية والمساحة الكلية للمنشور الثلاثي القائم
تعريف :
المساحة الجانبية للمنشور الثلاثي القائم= محيط القاعدة × الارتفاع
المساحة الكلية للمنشور الثلاثي القائم = المساحة الجانبية + ضعف مساحة القاعدة .
مثال : منشور ثلاثي قاعدته على شكل مثلث أبعاده : 3 سم , 4 سم 5سم وارتفاعه 6 سم . احسب :
المساحة الجانبية للمنشور .
المساحة الكلية للمنشور .
الحل :
المساحة الجانبية للمنشور = محيط القاعدة × الارتفاع
= ( 3+4+5 ) × 6
= 72 سم2 .
مساحة القاعدة = ½ القاعدة × الارتفاع
= ½ ×3×4
= 6 سم2
المساحة الكلية للمنشور = المساحة الجانبية + 2×مساحة القاعدة
= 72 + 2×6
= 84 سم2
( 2-3 ) حجم المنشور الثلاثي القائم
تعلمت أن حجم المنشور المنشور القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع
على هذا يكون :
حجم المنشور الثلاثي القائم = مساحة قاعدته المثلثة × الارتفاع
مثال (1) : احسب حجم منشور ثلاثي قائم قاعدته مثلث قائم الزاوية , أبعاده : 30 سم , 40 سم , 50 سم , وارتفاعه 60 سم .
الحل :-
حجم المنشور = ½×30×40×60
= 3600 سم3
مثال (2) : منشور ثلاثي قائم مساحة قاعدته 4800 سم2 , وحجمه 9600 سم3 . أوجد ارتفاعه .
الحل : حجم المنشور الثلاثي القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع
9600 = 4800×ع
ع = 9600/4800 = 2 سم
إشراف المعلم : أ/ عبد الواحد حسني .
إعداد: زياد محمد فهيم .
الشعبة : (6)
